PARÁBOLAS

 PARÁBOLAS 

Las parábolas el conjunto de puntos en el plano cartesiano que se   encuentran a la misma distancia de un punto fijo F llamado foco y una recta fija llamada  directriz.

     

PUNTOS FUNDAMENTALES DE LAS PARÁBOLAS:

PUNTO FIJO F
VÉRTICE        V
DIRECTRIZ    DF 

HAY QUE TENER EN CUENTA

PARÁBOLA CON EJE VERTICAL FOCO (0,P) DIRECTRIZ   Y(-P) DIÁMETRO FOCAL DF  4(P) ECUACIÓN PARA LA PARÁBOLA  Abre hacia arriba si  P es mayor a 0 y si es menor abre hacia abajo

PARÁBOLA CON EJE HORIZONTAL FOCO (P,0) DIRECTRIZ   X(-P) DIÁMETRO FOCAL DF 4(P) ECUACIÓN PARA LA PARÁBOLA  Abre hacia la derecha si P es mayor a 0 y si es menor abre hacia la izquierda

COMO ELABORAR UNA PARÁBOLA DE MANERA SENCILLA:

PASO 1

Sobre una hoja de papel elabora un recta fija donde sera la Directriz y un punto fijo que sera el Foco.

PASO 2

Con una escuadra ABC, con un angulo recto en B, se coloca un cuerda en el extremo del punto C. La longitud de la cuerda debe ser de BC. El otro extremo de la cuerda se coloca sobre el punto F.

PASO 3

Ubica el cateto AB sobre la directriz de manera que el cateto BC pase por el Foco.

PASO 4

Con la punta de un lápiz, mantén tensa la cuerda y realiza un trazo sobre el papel, a medida que la escuadra se desplaza hacia la derecha sobre la directriz.

PASO 5

El trazo obtenido es una parte de la parábola

PASO 6

Repite el proceso pero esta vez hacia la izquierda 

sacado de: libro saberes matemáticas (santillana) 

EJERCICIOS DE APLICACIÓN DE LA PARÁBOLA

 REFLECTOR PARABÓLICO 

En la figura se muestra una lampara con un reflector parabólico. la bombilla eléctrica esta colocada en el foco y el diámetro focal es 12cm.

    a.) encuentre  una ecuación para la parábola.

    b.) encuentre el diámetro d(C,D) de la abertura, 20cm del vértice.

Solución

paso 1

Observa los datos que nos dan y miramos si se encuentra en el eje horizontal o vertical.

  F=(3,0)

Df= 12cm

 X= 20cm

se encuentra en el eje horizontal =

paso 2

Teniendo el diámetro focal podemos hallar el puto P.

paso 3

En el punto a nos están pidiendo hallar la ecuación de la parábola entonces usamos la siguiente formula.

paso 4

Ahora nos piden que halle el diámetro de (C,D) de la abertura de la parábola

Si nos ubicamos en la imagen podemos observar que X=20cm; lo que tenemos que hacer a continuación es remplazar los valores que nos piden en la siguiente ecuación.

                                  

  

paso 5

Con respecto a esto  podemos decir que la distancia entre CD es la suma de Y en C y de Y en D.

 

paso 6

Para observar la parábola en geogebra se inserta la ecuación de la parábola y la directriz (-x) queda de la siguiente manera.

  

PUENTE COLGANTE

Un puente colgante,la forma de los cables de suspensión es parabólica. El puente que se muestra en la figura tiene torres que están a 600m una de la otra, y el ponto mas bajo de los cables de suspensión esta a 150m debajo de la cúspide de las torres. Encuentre la ecuación de la parte delos cables, colocando el origen del sistema de coordenadas en el vértice(NOTA:esta ecuación se emplea para hallar la longitud del cable necesario en la construcción del puente. 

https://media.gettyimages.com/vectors/san-francisco-landmark-vector-id165633140?s=612x612

paso 1

primero miramos los datos que tenemos y miramos si esta en el eje vertical o horizontal.

Df= 600m                                            eje vertical

P= 150m

paso 2

 teniendo en cuenta que tenemos el punto podemos hallar el foco y la ecuación de la parábola.

paso 3

Ahora buscamos algunos puntos para ver si si cumple ese ponto.

  ¿Como lo hacemos?

paso 4

Para comprobar si se encuentran estos puntos podemos realizar la siguiente igualdad según los datos recolectados anteriormente 


la ecuación parabólica 

La remplazamos según los puntos de la tabla

paso 4

Para ver en geogebra y verificar que los puntos que se identificaron estan bien se inserta la ecuación de la parábola los puntos buscados de la siguente manera.

  ECUACIÓN DE LA PARÁBOLA

TELESCOPIO REFLECTOR

El telescopio del observatorio Monte palomar tiene un espejo de 200pulg como se ve en la figura. el espejo construido en forma parabólico que recolecta luz de las estrellas y la enfoca en el foco primario es decir el foco de la parábola. El espejo mide 3.79pulg de profundidad en el centro. encuentre la longitud focal de este espejo parabólico es decir, la distancia del vértice al foco.

paso 1

Observamos los datos que nos dan 

Df= 200pulg
se encuentra con la abertura en el 
eje vertical

paso 2Para hallar la distancia que hay del vértice al foco del espejo tenemos que despejar el punto P ¿Como lo hacemos?
Este despeje se realiza con la formula del diámetro focal.

Ahora que tenemos el punto P=( 150pulg ) podemos hallar el foco. Como podemos ver que se encuentra en eje X o eje vertical asi que el foco es igual a F=(0,P) deduciendo esto el foco es

la distancia que hay del vértice al foco es 50pulg.paso 3Para verificar si la distancia es correcta se ingresa la ecuación de la parábola.recordemos que para saber la ecuación de la parábola se necesita una formula que es:  a continuación empezaremos a remplazar.

Y así se mostrara en geogebra después de buscar los puntos.

DISCO SATÉLITALUn reflector para disco satélital es parabólico en sección transversal, con receptor en el foco F, el reflector mide 1 pie de profundidad y 20 pies de ancho de borde a borde (vea la figura ). ¿A que distancia esta el receptor del vértice del reflector parabólico?

paso 1

Sabemos que el receptor mide 20 pies es decir que tenemos el diámetro focal para hallar el punto P,para eso necesitamos despejar el punto P en la formula de DF.

paso 2

sabiendo el punto P podríamos deducir el foco es decir la distancia del receptor al vértice del reflector.

ahora si sabemos cual es la distancia que hay del receptor al vértice del reflector esta es  5 pies

paso 3

Si queremos ver la gráfica como queda es necesario hallar la ecuación de la parábola para esto necesitamos usar la formula